24阶群共有15种同构类，其中一种就是12阶的二面体群。本文，专门来研究12阶的二面体群的结构。
工具/原料
1
电脑
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Mathematica
方法/步骤
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a=FiniteGroupData[24][[5]];这里的a就是12阶二面体群。它的矩阵表示如下。
2
Cayley图很简单。这说明，这个群有两个生成元。
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它有13个二阶子群。
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只有一个3阶子群。
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7个4阶子群。
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5个6阶子群。
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3个8阶子群。
8
下图中的两个子群的乘积不是子群。
注意事项
1
在寻找12阶子群的时候，耗费时间较长。因为我这里使用的方法是，从12阶自己里面筛选子群，是低效率的枚举法。
2
子群的乘积未必是子群。通过12阶二面体群的2阶子群和4阶子群就可以加以证明：Flatten[Table[ If[AllTrue[ Flatten[Table[ m.n, {m, (d = Flatten[Table[m.n, {m, c2[[u]]}, {n, c4[[v]]}], 1])}, {n, d}], 1], MemberQ[d, #] &], 0, {u, v}], {u, 13}, {v, 7}], 1] // Union
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