两个函数生成的六阶群的乘法表分析

电脑

mathematica

第二行第三列的元素，表示：f=g*h=g(h(x))=1/x

函数i(x)=x是这个群的单位元，表示不变。

每一行，都是六个群元素的解析式。而且，每行、每列都可以视为群元素的一个置换（没有重复元素）。

群里面有三个二阶元素：h、f、j。这三个函数都是对合函数。

单位元和任意二阶元素构成一个二阶子群。

单位元和h、f、j，不能构成群。因为不满足封闭性。

f=g*h=g(h(x))=1/xj=h*g=h(g(x))=1-xf和j不恒等，说明h和g不可交换。注意：乘法表关于对角线是不对称的。

注意，j=hg=gf=fk=kh，h、g、f、k通过左乘，形成了一个圈。这个圈是不可逆的，或者说，对称位置上不是相等的元素。