二次方，平方差，乘方开方都是窍

了解原理，我们先看几个平方数吧

9801 = (98+1)'= 99'

3025 = (30+25)'= 55'

2025 = (20+25)'= 45'

计算结果真是这样吗？我们用平方差来算一算

99'= 99' -1' +1'=(99-1)(99+1)+1'= 98X100 +1= 9801

55'= 55' -5' +5'=(55-5)(55+5) +5'= 50X60 +25 = 3025

45' = 45' -5' +5'=(45-5)(45+5) +5'= 40X50 +25 =2025

看到这里，计算二次方的窍门，朋友们看出来了吗？ END

正如55'=3025、45'=2025，两位数 a 的个位如果是5，(a+5)和(a-5)就变成两个整拾，乘起来就像乘法口诀一样方便轻松，相乘得到的平方差 a'-5' 是整百，a'最后两位加回25 也不受影响，只要根据 a 的拾位数n 算出n(n+1)，确定前两位即可。看看15'= 225、25'= 625，都是我们熟悉的平方数。15的拾位数是 1，225在 25 前面的就是 1X2 =2；25的拾位数是 2，625在 25 前面的就是 2X3=6；

两位数a如果个位不是 5，(a+b)和(a-b)就不能变成两个整拾，我们就取个位数 b，让(a-b)变成整拾，或者凑十地取b，让(a+b)变成整拾。只要其中一个变成整拾，计算(a+b)(a-b)也就同样方便轻松些，最后把b' 加回去，a'就算出来了。正因为(a+b)和(a-b)不能变成两个整拾，计算平方差，我们还可以取两个不同的 b，前一个算起来方便一些，另一个可以进行验算。具体我们再看几个例子吧13' = (13-3)(13+3) +3' = 10X16 +9 =160 +9= 169；17' = (17-3)(17+3) +3' = 14X20 +9 = 280 +9 = 289，验算 17' = (17-7)(17+7) +7' = 10X24 +49 = 240+49 = 289；23' = (23-3)(23+3) +3' = 20X26 +9 = 520 +9 = 529，还可以23' = (23-2)(23+2) +2' = 21X25 +4 = 2100/4 +4 = 525+4 = 529

这个巧妙的算法，决不是两位数的专利，我们再算几个多位数看看吧 999' =(999-1)(999+1)+1' = 998 X 1000 +1 = 998001；256' =(256-6)(256+6)+6'= 250X 262 +36 = 262000/4 +36 = 65536；2012' =(2012-12)(2012+12)+12' = 2000 X 2024 +144 = 4048144

通常，平方数计算平方根，我们都要分解质因数，力争把这一个平方数，变成两个相同因数的乘积，例如

196 = 2 X 98 = 4 X 49 = 2 X 2 X 7 X 7 = 14'

256 =4 X 64 = 2 X 2 X 8 X 8 = 16'

324 = 4X 81= 2 X 2 X 9 X 9 = 18'

这些都是偶数，我们起码都知道 2 是其中一个因数，可是奇数又怎么办呢？

还有一些平方数，正如 3X3=9、7X7=49，本来就是质数自乘的结果，假如我们一时看不出该怎样分解因数，又怎么办呢？这样，就又需要平方差来发挥作用了。

我们利用平方差，a'-1 =(a-1)(a+1)，先把平方数减 1变成偶数，然后分解因数，得到(a-1)和(a+1)，这两个相差2 的因数，中间的数字 a，就是原来的平方根了。

看吧

169 -1 = 168 = 8 X 21 = 2 X 4X 7 X 3 = 12X 14=(13-1)(13+1)= 13'-1

这样 169 = 13'就算出来了；

289 -1 = 288 = 4 X 72 = 2 X 2X 8 X 9 = 16 X 18 =(17-1)(17+1)= 17'-1

这样 289 = 17' 就算出来了；

361 -1 = 360 = 3 X 120 = 3 X 6 X 20 = 18 X 20 =(19-1)(19+1)= 19'-1

这样 361 = 19' 就算出来了；

要知道，利用a'-1 =(a-1)(a+1)，还能够把所有平方数都分解因数，帮助大家算得方便轻松。毕竟a-1、a、a+1 是三个连续的自然数，其中就肯定有一个是 3的倍数，假如平方数a' 不是 3的倍数，a 不是 3的倍数，那么(a-1)和(a+1)就总有一个是3的倍数。或者说，平方数 a' 假如看不出有 3 这个因数，那么 a'-1 就肯定有一个因数是 3。

如果是多位数，我们看不出该怎样分解因数，怎么办呢？还是请平方差帮帮忙吧。

先看看刚才的 169= 13'、289= 17'、361= 19'，换个方法

169 -100 = 69 = 3 X 23 =(13-10)(13+10)= 13'-10'

这样 169 = 13'又算出来了；

289 -100 = 189 = 9 X 21 = 9 X 3X 7 = 7 X 27 =(17-10)(17+10)= 17'-10'

这样 289 = 17' 也算出来了；

361 -100 = 261 = 9 X 29 =(19-1)(19+1)= 19'-10'

这样 361 = 19' 同样算出来了；

可以说，平方数可能我们一时看不出怎样分解因数，但它是几位数的平方，平方根最高数位是多少，我们一定看得出来，凭着这个，利用平方差公式，我们就能够把平方根算出来了。END

开平方，先看看刚才算过来的平方数9801 - 8100 = 1701 = 9 X 189 =(99-90)(99+90) = 99'-90'9801 = 99'3025 - 2500 = 525 = 5 X 105 =(55-50)(55+50) = 55'-50'3025 = 55'2025 - 1600 = 425 = 5 X 85 =(45-40)(45+40) = 45'-40'2025 = 45'

开平方，再用各种方法，多算几个多位数看看5041 - 4900 = 141 = 1X 141 =(71-70)(71+70)= 71'- 70'5041 - 1 = 5040 = 90 X 56 = 10 X 9 X 8 X 7 = 70 X 72 =(71-1)(71+1)= 71'- 1这样算出 5041 = 71'28561 - 25600 = 2961 = 9 X 329 =(169-160)(169+160)= 169'- 160'28561 - 10000 = 18561 = 3 X 6187 = 3 X 23 X 269 = 69 X 269 =(169-100)(169+100)28561 - 81 = 28480 = 40 X 712 = 80 X 356 = 160 X 178 =(169-160)(169+9) 28561 - 1 = 28560 = 56 X 510 =56 X 3 X170 = 168 X 170 =(169-1)(169+1)这样算出 28961 = 169'376996- 360000 = 16996 = 4 X 4249 = 28 X 607 = 14 X 1214 =(614-600)(614+600)376996- 16 = 376980 = 60 X 6283 = 60 X 61 X 103 = 610 X 618 =(614 -4)(614 +4)376996- 196 = 376800 = 600 X 628 =(614-14)(614+14)这样算出 376996 = 614'375769 - 360000 = 15769 = 13 X 1213 =(613-600)(613+600)= 613'- 600'375769 - 169 = 375600 = 600 X 626 =(613-13)(613+13)= 613'- 13'这样算出 375769 = 613'

369664 - 360000 = 9664 = 8 X 1208 =(608-600)(608+600)= 608'- 600'

369664 - 64 = 369600 = 600 X 616 =(608 -8)(608 +8)= 608'- 8'

这样算出 369664 = 608'

这样一来，平方数计算平方根，我们就找到窍门了。

今后看到平方数，我们开方算平方根就方便了。