组合恒等式是组合数学里面的重要概念，在各类数学竞赛里面也经常用到。然而，组合恒等式的证明是比较繁琐的。如果用计算机能够直接验证，就可以极大的减少人工计算的难度。下面，我就介绍几个例子。
工具/原料
1
电脑
2
Mathematica
方法/步骤
1
在《怎么计算二项式系数》里面，我介绍了二项式系数的函数表示——Binomial，也就是组合数，这是Mathematica的内置函数，可以直接使用：Binomial[n, k] + Binomial[n, k + 1] // TraditionalForm
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验证一下二项式展开定理：Sum[Binomial[n, k], {k, 0, n}] // HoldForm // TraditionalForm
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下面验证一个组合恒等式：Sum[Binomial[n, k]^2, {k, 0, n}]
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化简Sum[k^2 Binomial[n, k] a^k b^(n - k), {k, 0, n}]，其实直接运行就可以。
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这个呢？Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}]
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其实，化简的结果还是挺简单的：Sum[(-1)^k Binomial[n, k] Binomial[k, m], {k, m, n}] // HoldForm // TraditionalForm答案是：(-1)^n δ[m, n]，右边是KroneckerDelta函数。
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这个比较复杂：Sum[(-1)^(k - 1) Binomial[2 n, k]^(-1), {k, 1, 2 n - 1}]化简结果是：((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1))因为n是正整数，所以，(-1)^(2 n)=1，((-1)^(2 n)+1)/(2 (n+1))=1/(n+1)。
注意事项
还有很多组合恒等式，限于篇幅，这里不能尽数列举。大家可以下载《组合恒等式》这本电子书，PDF格式，里面已经有很多例子，供大家参考。
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