用网页版数学软件暴力破解几何问题

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设AD=BC=2，CD=a；根据BD:DP=AD:CD，得到PD=abs((a+((a)^(2)*(-1/2))))；根据勾股定理，得到：PF=(abs((2+(a*(-2))+(a)^(2)))*1/2)。

本题隐含着一个条件：D在线段BC上，也就是0

所以，无论D在线段BC的什么位置，都可以得到PD+PF=1。进一步思考，如果D在直线BC上，但是却位于线段BC之外，那么这个结论还成立吗？仍旧假设CD=a，那么：PD=(a+((a)^(2)*1/2))；PF=(1+a+((a)^(2)*1/2))。

在a>0的条件下，用Mathematica化简：PD=(a+((a)^(2)*1/2));PF=(1+a+((a)^(2)*1/2));PD+PF//TraditionalFormAssuming[a>0,Simplify[PD+PF]]发现，PD+PF=BD^2，左右的纲量不对称，不是我预期的结论！

观察发现，当D位于线段BC之外的时候，PF-PD为定值，恰好就是线段BC的一半。那么这个问题的背景是什么？我在这里用网络画板作出P的轨迹（图中的绿色线）。

猜想：P的轨迹是一条抛物线。于是，建立一个坐标系，F为原点，B为{-1,0}，C为{1,0}，A{x,2}，那么P的坐标是{x,(1/2+((x)^(2)*(-1/2)))}，也就是说，P的轨迹是抛物线，方程式是：y=(x^2)/2-1/2。于是，猜想得到肯定，问题的背景搞清楚了：PF就是P到F的距离，PD就是P的纵坐标值（当D位于直线BC下面时，PD取负数），PF+PD为定值。