Sylow定理，是抽象代数里面比较重要的一组定理，可以帮助我们快速界定有限群的分类。本文，通过具体的例子，来介绍一下三大Sylow定理的具体意思。
工具/原料
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电脑
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Mathematica
方法/步骤
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我们用一个具体的群，来研究Sylow定理。这个具体的群是5阶对称群，它有120个元素。
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对120进行质因数分解：120=2^3 * 5 *3
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根据Sylow定理第一定理，可以断言，S5必定有：一个8阶子群一个5阶子群一个3阶子群
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我们尝试寻找S5的3阶子群。先考虑S5的所有的3阶子集的集合K3，可以证明，K3有280840个元素，也就是说，S5有280840个3阶子集。请思考，Mathematica为什么说S5有288101个3阶子集呢？
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S5作用于某个3阶子集，可以得到一条轨道。
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S5作用于K3的每一个元素（也就是S5的每一个3阶子集），都有对应的轨道。由于S5有280840个3阶子集，要想获得全体轨道，计算机也不容易办到，比较耗时。因此，我们只选择前120个3阶子集，并求出对应的轨道。注意，并不是说每一个子集都对应一个不同的轨道，实际上，很多3阶子集拥有同一条轨道。
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换一个思路，直接求每一个3阶子集的稳定子。如果存在3阶稳定子，那么这个三阶稳定子就是S5的三阶子群。
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S5是一个不太恰当的例子，因为基数太大，导致在查看280840个3阶子集的稳定子的时候，浪费了太多时间。
注意事项
这个群操作起来不太容易。不过，Mathematica可以避开Sylow定理，直接算出S5的3阶子群。