《网络画板趣味数学创作大赛》第3-7题的内容如下:在平面直角坐标系中,点 A(-5,0)、B(5,0),过动点M的直线AM和BM的斜率之积为k(k为不等于0的常数)。讨论动点M的轨迹 。
工具/原料
1
电脑
2
网络画板
方法/步骤
1
先绘制坐标点:A(-5,0);B(5,0)。
2
以A为圆心画一个半径为1的圆,u是圆上的动点。
3
作直线Au,给直线标记为u;测量直线Au的斜率:m000=u斜率。
4
构造变量k,最小值-10,最大值10,增量是0.001,当前值是-1。这里的k,就是两条线的斜率的乘积。
5
绘制坐标点C(0,-5 * k / m000)。不要问为什么,勤快人一算就知道,直线BC的斜率与直线Au的斜率的乘积是k。
6
连接直线BC;直线Au与直线BC的交点,就是M点。
7
根据u点来构造M的轨迹,可以发现M轨迹是一个圆,这是因为此时k=-1,Au⊥BC。
8
当-1
9
当k<-1的时候,M的轨迹还是一个椭圆,长轴在y轴上,短轴在x轴上。k=-1是两种状态的转折点。
10
当0
11
当k=1时,M轨迹是等轴双曲线;当k>1时,M的轨迹还是双曲线,只不过实轴比虚轴短。k=1是实轴虚轴长短的转折点。
注意事项
这个问题,作图比较容易,可是要想获得严格的结论,最好还是求出M轨迹的方程。
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