函数极限连续

函数的定义：设有两个变量x和y,若当变量x在实数的某一范围D内，任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称f是定义在D上的函数。记为            y=f(x)     x∈D其中变量x称为自变量，变量y称为因变量，x的取值范围称为这个函数的定义域。 设d为一正数，点集(x0-d, x0+d)称为点x0的d一邻域，记为N(x0, d)；点集(x0-d, x0)∪(x0, x0+d)称为点x0的去心邻域，记为N(x0, d) 1．有界性：若存在正数M,使对于区间I上任意点x,总存立çf(x)ç≤M,则称f(x)在I上有上界，如果这样的M不存在，则称f(x)是区间I上的无界函数。[mata1] 2．单调性：若对于区间I内任意两点x1,x2,当x1< x2时，有f(x1)f(x2),则称f(x)在区间I上单调减少，函数单调增加或单调减少的区间统称为单调区间。3．奇偶性：设I为关于原点对称的区间，若对于任意xÎI,都有f(x)=f(-x),则称f(x)为偶函数，若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。4．周期性：若存在不为零的数T,使得对于任意xÎI,x+TÎI,总有f(x+T)=f(x), 则称f(x)为周期函数,通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。 反函数：设y=f(x)为定义在定义域D上的函数，其值域为M，其对于数集M中的每个数y,数集D中都有唯一的一个数x,使f(x)=g,即说变量x是变量y的函数，这个函数称为函数y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y),其定义域为M，值域为D,函数y=f(x)与x=f-1(y)二者图形相同。                                     定义1:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域N(x0, d)内有定义，如果当x无限接近于x0时，相应的函数值无限趋向于常数A.则称A为x®x0时，相应的函数值无限趋向于常数A，则称A为当x®x0时的函数f(x)的极限，记为[mata2]                  lim f(x)=A 或 f(x)®A(x® x0) 定义2 若小于x0而趋向于x0时，f(x)趋向于数A,则称A为当x趋向于时x0的左极限或简称为f(x)在处的x0左极限为A. 定义3：如果当êx ê无限增大时，函数f(x)无限趋向于常数A,则称A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限，记为         lim f(x)=A 或 f(x)®A(x® ∞) 定理1：如果x® x0时，函数f(x)的极限存在，则存在x0的某个去心邻域N(x0, d),使得f(x)在该邻域内有界。[mata3]  定理1¢：当x® ∞时，函数f(x)的极限存在，则存在正数x,使得êx ê>x时，函数有界。 定义5：对于数列｛un｝,当n® ∞时，若数列un各项的值无限趋向于某常数A,则称A为数列｛un｝的极限，记为lim un =A或un ®A(n® ∞)极限存在的数列称为收敛数列，极限不存在的数列称为发散数列。定理2： 若数列收敛则数列有界。定理3： 单间有界数列一定收敛。                                       在自变量x的某种变化趋向下，函数y=f(x)的绝变值÷f(x)÷无限增大，则称y=f(x)为在这种趋向下的无穷大量。简称为无穷大。 在函数a=a(x)在x的某种变化趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种变化趋向下的无穷小量，简称为无穷小。 定理1： 若函数y=f(x)在x® x0 (x® ∞)时极限为A,则f(x)=A+a(x),其中a(x)为x® x0 (或x® ∞)的无穷小量；反之，若f(x)=A+a(x), a(x)的意义同上，则x® x0(或x® ∞)时，函数f(x)的极限为A. 定理2： x® x0(或x® ∞)时，有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量。 定理3： 有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。推论1： 在自变量的同一趋向下，有限个无穷小量的乘积为无穷小量。推论2： 常数与无穷小量之积为无穷小量